Сколько шаров?

Пусть в ящике содержится w белых шаров и b чёрных шаров. Какова вероятность того, что если случайным образом вытащить из ящика два шара, то они оба окажутся белыми?

Попробуйте найти нужное значение w для небольших значений b (например, b = 1, b = 2, b = 3, ...).

Итак, пусть в ящике содержится w белых шаров и b чёрных шаров. Для простоты будем считать, что мы вытягиваем шары из ящика последовательно. Тогда вероятность того, что первый шар, который мы извлекли из ящика, окажется белым, равна \(\frac{w}{w+b}\), а вероятность того, что второй шар также окажется белым (при условии, что первый шар белый) есть \(\frac{w-1}{w+b-1}\). По условию задачи вероятность того, что оба шара — белые, равна 1/2, то есть

Отметим, что получающаяся формула не изменится, если мы будем считать, что шары извлекаются из ящика одновременно. В самом деле, количество возможностей вытянуть два произвольных шара равно

\(C_{w+b}^2=\dfrac{(w+b)(w+b-1)}{2}\),

достать два белых шара можно

\(C_w^2=\dfrac{w(w-1)}{2}\) способами.

То есть, искомая вероятность равна

\(\dfrac{C_w^2}{C_{w+b}^2}=\frac{w}{w+b}\cdot\dfrac{w-1}{w+b-1}\).

Полученное выражение можно рассматривать как уравнение от двух переменных: w и b. Учитывая, что нам нужно найти наименьшее значение выражения (w + b), наиболее естественно попытаться решать это уравнение перебором. Именно, логично попробовать последовательно подставить значения b = 1, b = 2, b = 3, ..., а дальше выяснить, имеет ли получающееся относительно w квадратное уравнение целые решения или нет. В нашем случае этот метод довольно быстро приводит к решению. Так, при b = 1 мы и вовсе получаем линейное уравнение:

Это даёт нам решение пункта а). Тем же методом, немного повозившись, можно было бы найти ответ и для пункта б), однако мы пойдём другим, более изящным с математической точки зрения, путём.

Заметим, что при b > 0 и w > 0 выполняется неравенство

С учётом уравнения (1) отсюда следует, что

Извлекая квадратные корни, имеем

Рассмотрим отдельно первое из этих неравенств:

Аналогично, для второго неравенства имеем

Таким образом, мы обретаем оценку для w через величину b:

Например, для b = 1, учитывая, что \(1{,}414<\sqrt2<1{,}415\), мы получаем неравенство \(2{,}414<w<3{,}415\). Значит, достаточно проверить, удовлетворяет ли условию значение w = 3. В нашем случае (при b = 1 и w = 3) вероятность достать два белых шара из ящика равна

а значит, минимальное число шаров в ящике равно четырём.

Перейдём теперь к решению пункта б). Чтобы найти ответ, рассмотрим последовательно значения b = 2, b = 4, b = 6, ... и соответствующие им значения w, пока не встретим подходящие.

Таким образом, если b чётно, то минимальное число шаров в ящике равно 21.

Естественным образом возникающий у читателя после решения задачи вопрос — как найти все возможные наборы чёрных и белых шаров, для которых вероятность извлечения двух белых шаров из ящика равна 1/2. Чтобы сделать это, рассмотрим уравнение (1) как уравнение от переменной w, а величину b будем считать параметром. Перепишем это уравнение следующим образом:

Ясно, что это уравнение имеет целочисленное решение тогда и только тогда, когда его дискриминант является квадратом целого числа. Иначе говоря, для какого-то целого числа m справедливо равенство

или, что то же самое, \(m^2-8b^2=1\).

Полученное уравнение представляет собой частный случай целочисленных уравнений более общего вида:

Здесь d — заданное целое число, не являющееся полным квадратом. Такие уравнения с лёгкой руки Леонарда Эйлера традиционно называют уравнениями Пелля (хотя английский математик Джон Пелл, в честь которого Эйлер и обозвал такие уравнения, скорее всего не имеет к ним никакого отношения). Оказывается, при каждом удовлетворяющем условию значению параметра d уравнение такого вида имеет бесконечно много решений, причём все эти решения получаются единообразно.

Продемонстрируем на примере, что имеется в виду. Пусть d = 2. Тогда нетрудно показать, что если пара (x, y) является решением уравнения \(x^2-2y^2=1\), то и пара (3x + 4y, 2x + 3y) тоже им является. В самом деле,

Таким образом, исходя из тривиального решения (1, 0), мы можем получить бесконечную последовательность различных решений \((x_k,y_k)\) при помощи рекуррентной формулы

где

Оказывается, этими значениями положительные решения уравнения \(x^2-dy^2=1\) исчерпываются, а остальные его решения отличаются от указанных только знаком.

Аналогичным образом обстоят дела и в общем случае. Интерес здесь представляет несколько важных моментов. Во-первых, все нетривиальные положительные решения могут быть получены многократным «умножением» одного из них, которое мы будем называть основным, на себя. Под «умножением» двух решений уравнения Пелля мы подразумеваем следующую хитрую операцию (которую по привычке обозначаем как и обычное умножение — точкой):

Например, для d = 2 основное решение есть (3, 2), а умножение на него произвольного решения имеет вид

Во-вторых, занимательно узнать, каким образом можно найти пресловутое основное решение для каждого конкретного значения d. Здесь нам неожиданно помогают цепные дроби: оказывается, любое положительное решение (x, y) уравнения Пелля соответствует подходящей дроби \(\frac{x}{y}\) числа \(\sqrt{d}\). Однако обратное утверждение неверно: не каждая подходящая дробь соответствует решению уравнения Пелля, а лишь те, номера которых имеют вид (kn − 1), где n — длина периода последовательности элементов цепной дроби для числа \(\sqrt{d}\). Для некоторых d эти номера (и,~как следствие, положительные решения) могут оказаться весьма большими. Так, для d = 61 основное решение имеет вид (1 766 319 049, 226 153 980).

Наконец, любопытно будет отметить, что при доказательстве существования нетривиального решения уравнения Пелля ключевую роль играет геометрическая лемма Минковского о выпуклом теле. Эта лемма неожиданно возникает в самых разных задачах теории чисел и является ярчайшим примером связи алгебры и геометрии в высшей математике.

При подготовке статьи были использованы следующие материалы:
1) В. О. Бугаенко. «Уравнения Пелля» (Библиотека «Математическое просвещение», выпуск 13).
2) Ф. Мостеллер. «Пятьдесят занимательных вероятностных задач с решениями».
3) Статьи В. Сендерова и А. Спивака про уравнения Пелля в журнале «Квант» (часть I, часть II и часть III).